B13、リーマンの夢を見る　=　コラム　＝

B13、リーマンの夢を見る

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2008年、リーマン・ショックが世界を駆け巡った。
2026年、トランプ・ショックはそれを超えるのか！？

おっと、今回はそういう話ではなく・・

リーマン予想の話だ。

まず素数から。
1 , 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 …
素数は「1と自分以外では割れない数」です。小さいうちはポツポツ出てきますが、数が大きくなるにつれて間隔が広がる。でも次の素数がどこに現れるかは、今も誰にも予測できません。
160年証明されていないリーマン予想。コンピュータで10兆個以上のゼロ点を確認しても、その先はどうなっていくのか誰も証明できていない。
0でも1でもない、ちょうど真ん中の 1/2。

フィボナッチの整数の方は ψⁿ/√5 と整数の「交差点」だ。
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …
この数列には「ビネの公式」という閉じた式がある。
ビネの公式のは、nが増えるにつれてゼロに近づく。しかし残渣は消えない。ただ限りなく小さくなっていく。

$$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$

そういえば、

φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618（黄金比）
ψ = (1-√5)/2 ≈ −0.618（φの共役）

(φ + ψ) / 2 = （1.618 +（−0.618））/ 2 = １/2

なあんだ、そう言うことか。

というあたりで目が覚めた。

そういえば、素数定理

素数定理は、xが大きくなるにつれて、x以下の素数の個数π(x)がx/log(x)やLi(x)に近づくことを示します。特にLi(x)はx/log(x)よりも近似精度が高いとされています。
これも、対数スケール（10倍ずつ増える目盛り）にしたグラフにしてすっ飛ばすと、ようやく比率が1に吸い込まれていく（漸近する）様子が見えてきますね。

横軸をログスケール

フィボナッチ数列は素数ばかりではないし、特定の壁に収束する性質は、素数に限った話じゃなさそうです。
自明のようで、厳密に証明できないことは、世の中には結構多いです。