電気機器I後期中間ノート

電動機

始動

停止から始動状態にすること。

始動電流

始動時の電流。定格の十数倍。電機子コイル、整流子、ブラシなどが焼損する。

抵抗始動法

電機子回路に直列抵抗Rstを挿入し、始動電流を制限する。
回転数が増加すると自動で抵抗減少。

低減電圧始動法

始動時の端子電圧を下げる。

直並列始動法

電動機を直列に始動して、定格になると並列運転する。

可変電圧電源始動法

電動機の運転

可変速度制御

電動機の速度トルク特性を変化させる。速度を可変。

定速度制御

負荷の速度トルク特性が変化。一定速度となるように電動機のトルクを可変。

電動機の速度

$$N = \frac{V_a - R_a I_a}{2 \pi K \phi \div 60} \mathrm{[rpm]}$$

界磁制御法

$\Phi$を変える。

直列抵抗制御法

$R_a$を変える。

電圧制御法

$V_a$を変える。

制動

急速に停止させること。

発電制動

電源を切り離し、外部抵抗と接続。発電機として動作。
運動エネルギーを熱エネルギーに変換。

回生制動

コンデンサ等を接続。
電源を切り離し、運動エネルギーを電気エネルギーに変え電源に変換。

逆転制動

運転中の電動機の巻線の接続を逆にする。

損失と効率

無負荷損

無負荷で発生する損失。

機械損

摩擦損

軸と軸受け。
ブラシと整流子の接触。

風損

周囲の空気。

鉄損

ヒステリシス損とうず電流損。

負荷損

負荷によって変化する損失。

銅損

• 界磁巻線銅損
• 電機子巻線銅損

効率

負荷損と無負荷損が等しい時に最大効率となる。

実測効率

入力と出力を直接測定して求めた効率。

$$実測効率 = \frac{出力}{入力} = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100 \mathrm{[\%]}$$

規約効率

入力もしくは出力の片方のみから求められる効率。

$$規約効率（発電機） = \frac{出力}{出力 + 損失} \times 100 \mathrm{[\%]}$$

$$規約効率（電動機） = \frac{入力 - 損失}{入力} \times 100 \mathrm{[\%]}$$

変圧器

巻数比

$$a = \frac{V_1}{V_2} = \frac{I_2}{I_1} = \frac{一次側の巻数}{二次側の巻数}$$

励磁回路

磁束が正弦波状だと磁性体にヒステリシス特性があるため電流が歪む。

磁心

磁性材料で構成された閉磁気回路。

磁性材料

強磁性体

鉄、コバルト、ニッケルなどの磁石に吸着する物質。

弱磁性体

磁石に吸着しないもの。

反磁性体

水素、金、水銀などの磁気を近づけると反発。

常磁性体

アルミニウムや酸素などの磁化の度合いが強磁性体の数万〜数千分の一。

演習問題

電動機の最大効率の証明問題

端子電圧$V_0$ 電機子電流$I_0$ 無負荷損$P_0$ 負荷損$P_L = KI_a^2$の電動機があるとき、最大効率となる条件を求めよ。

解説

規約効率（電動機）の式を用いると効率は、

$$\eta = \frac{V_aI_a - (P_L + P_0)}{V_aI_a} = \frac{V_aI_a - (KI_a^2 + P_0)}{V_aI_a}$$

$I_a$で割ると、

$$\frac{V_a - (KI_a + \frac{P_0}{I_a})}{V_a}$$

最大効率となるためには$KI_a + \frac{P_0}{I_a}$を最小化すればいいから、

$$\frac{d}{dI_a}(KI_a + \frac{P_0}{I_a}) = 0$$

これを整理すると、

$$KI_a^2 = P_0$$

$P_L = KI_a^2$だから、

$$\therefore P_L = P_0$$

よって、負荷損と無負荷損が等しいときに最大効率となる。

単相変圧器の変圧比を求める問題

単相変圧器の二次側端子に$1 \mathrm{\Omega}$を接続して一次側に$600 \mathrm{V}$を加えたところ、二次電流は$30 \mathrm{A}$あった。変圧比はいくらか。

解説

二次側電流と二次側負荷を掛け合わせることで二次側電圧をもとめることができるから、

$$V_2 = 1 * 30 = 30 \mathrm{V}$$

よって、

$$\therefore a = \frac{V_1}{V_2} = \frac{600}{30} = 20$$

最大磁束を求める問題

一次電圧$3000 \mathrm{V}$、周波数$50 \mathrm{Hz}$、一次巻数$600 \mathrm{回}$の単相変圧器がある。この時の最大磁束はいくらか。

解説

磁束は正弦波となるから、

$$\Phi = \Phi_m\sin{100\pi t} \mathrm{[Wb]}$$

ファラデーの法則より、

$$E = n\frac{d\Phi}{dt} = 600 \times 100\pi\Phi_m\cos{100\pi t} \mathrm{[V]}$$

誘導起電力が最大のとき磁束は最大になるから、

$$E = 600 \times 100\pi\Phi_m = 3000\sqrt{2} \mathrm{V}$$

よって、

$$\Phi_m = \frac{3000\sqrt{2}}{600 \times 100\pi} = 2.25 \times 10^{-2} \mathrm{Wb}$$

最大磁束の証明問題

理想変圧器の一次側に周波数$f \mathrm{[Hz]}$を加えた時、最大磁束が$\sqrt{2}\phi$であった。この時、二次側電圧$E_2 = 2\pi f \frac{n_1}{a}\phi$であることを証明せよ。（巻数比$a = \frac{n_1}{n_2}$）

解説

磁束は正弦波となるから、

$$\Phi = \sqrt{2}\phi\sin{2\pi f t} \mathrm{[Wb]}$$

ファラデーの法則より、

$$E = \frac{n_1}{a}\frac{d\Phi}{dt} = 2\sqrt{2}\pi f\phi\frac{n_1}{a}cos{2\pi f t} \mathrm{[V]}$$

求める$E_2$は実行値だから$\frac{1}{\sqrt{2}}$倍して、

$$\therefore E_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 2\sqrt{2}\pi f\phi\frac{n_1}{a} = 2\pi f\phi\frac{n_1}{a} \mathrm{[V]}$$