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ハイパー演算に関する雑記

x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N_+}とする。

rank 0

\mathcal{H}_0(x,n)=1\underbrace{+1+1+...}_{n\:\text{times}}=1+n とおく。xは使用されない。

\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\mathcal{H}_0(x,n)=\lim_{n\to\infty}{1+n}} は収束しない。

rank 1

\mathcal{H}_1(x,n)=\mathcal{H}_0(x,n)=x\underbrace{+1+1+...}_{n\:\text{times}}=x+n とおく。

\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\mathcal{H}_1(x,n)=\lim_{n\to\infty}{x+n}} は収束しない。

rank 2

\mathcal{H}_2(x,n)=\underbrace{\mathcal{H}_1(\mathcal{H}_1(\mathcal{H}_1(...), x),x),x)}_{n\:\text{times}}=\underbrace{x+x+...}_{n\:\text{times}}=x\times n とおく。

\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\mathcal{H}_2(x,n)=\lim_{n\to\infty}{x\times n}} が収束する条件は、 x=0

rank 3

\mathcal{H}_3(x,n)=\underbrace{\mathcal{H}_2(\mathcal{H}_2(\mathcal{H}_2(...), x),x),x)}_{n\:\text{times}}=\underbrace{x\times x \times ...}_{n\:\text{times}}=x^n とおく。

\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\mathcal{H}_3(x,n)=\lim_{n\to\infty}{x^n}} が収束する条件は、 |x|\le1

rank 4

\mathcal{H}_4(x,n)=\underbrace{\mathcal{H}_3(\mathcal{H}_3(\mathcal{H}_3(...), x),x),x)}_{n\:\text{times}}=\underbrace{x^{x^{x^{...}}}}_{n\:\text{times}}=^n{x} とおく。

\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\mathcal{H}_4(x,n)=\lim_{n\to\infty}{^n{x}}} が収束する条件は、 e^{-e}\le x \le e^{e^{-1}}

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