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アルゴ式徒然帳

ピン留めされたアイテム

アルゴ式のメモなど

追記: そこそこ見づらいので記事にしたい

https://algo-method.com/tasks/698

問題文より球の体積は、球の半径rと、平面z=kで切断したときの断面積 S(k) を用いて

V=\int_{-r}^{r}{S(z)dz}

と書ける。

ただし、偶関数と奇関数の性質から、

V=\int_{-r}^{r}{S(z)dz}=2\int_{0}^{r}{S(z)dz}

となることに注意する。


平面z=kで切断したときの断面が円になるので、その円の半径が \sqrt{r^2-k^2} になることを利用して

\displaystyle S(k)=(r^2-k^2)\pi

が成り立つ。

よって、積分定数をCとして、関数 S(k) の原始関数 S_{\text{p.f.}}(k) は次のようになる。

S_{\text{p.f.}}(k)=\int{S(k)dk}=\left(r^2k-\frac{1}{3}k^3\right)\pi+C

したがって、

V=\int_{-r}^{r}{S(z)dz}=2\int_{0}^{r}{S(z)dz}=2(S_{\text{p.f.}}(r)-S_{\text{p.f.}}(0))

これを計算する。

計算の詳細

見通しが良くなるように

\displaystyle H=\int_{0}^{r}{S(z)dz}=S_{\text{p.f.}}(r)-S_{\text{p.f.}}(0)

とおくと、

\displaystyle H=\left[\left(r^2\cdot r-\frac{1}{3}r^3\right)\pi+C\right]-\left[\left(r^2 \cdot 0-\frac{1}{3}\cdot 0^3\right)\pi+C\right]

\displaystyle H=\left[\left(r^2\cdot r-\frac{1}{3}r^3\right)\pi+C\right]-\left[0\cdot \pi+C\right]

\displaystyle H=\left[\left(r^2\cdot r-\frac{1}{3}r^3\right)\pi+C\right]-\left[0+C\right]

\displaystyle H=\left[\left(r^2\cdot r-\frac{1}{3}r^3\right)\pi+C\right]-C

\displaystyle H=\left(r^2\cdot r-\frac{1}{3}r^3\right)\pi

\displaystyle H=\left(r^3-\frac{1}{3}r^3\right)\pi

\displaystyle H=\left(1-\frac{1}{3}\right)r^3\pi

\displaystyle H=\frac{2}{3}r^3\pi

よって、

V=2H=2\cdot \frac{2}{3}r^3\pi=\frac{4}{3}r^3\pi
\therefore V=\frac{4}{3}r^3\pi

となる。

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