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ばね振り子の運動（Part 1 -運動方程式の導出-）

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ばね振り子の運動（Part 1 -運動方程式の導出-）

はじめに

いろいろ重なって、前回の投稿からだいぶ時間が経ってしまいました。
現在は修論の執筆で相変わらずの日々ですが、息抜きとして投稿を再開します！

前回は 2 回に分けて単振り子の運動をシミュレーションしました。
（記事はこちら： Part 1, Part 2）

Part 2 で振り子の運動についてある方のコメントを参考に、今回は「ばね振り子」についてやろうと思います。
なぜばね振り子か？糸の伸縮を表現したいからです。（あっているかわかりません）
まぁ勢いです。

ばね振り子のモデル

単振り子の模式図
Fig.1 Schematic representation of a spring pendulum.

Fig.1に示すように、ばね振り子の構成要素は次の通りです。

  • 質点 m（ばねの先端）
  • ばね剛性 k, 自然長 l
  • 支点からおもりまでのばね長 r
  • 重力加速度 g

仮定：

  • ばねの質量を無視できる
  • 空気抵抗や軸の摩擦はない

運動方程式の導出

今回はラグランジュの運動方程式で導出します。

一般化座標をrと\thetaに選びます。
ばねの長さ r、おもり質量 m、重力加速度 g のもとで、ポテンシャルエネルギー U と運動エネルギー T は次のようになります。ただし、ポテンシャルの基準面は原点Oとします(Fig.2)。

ポテンシャルの基準面
Fig.2 Reference surface for potential energy.

[運動エネルギー]

平面極座標
Fig.3 Infinitesimal displacement d\boldsymbol{r} in polar coordinates.

速度を直交座標系で考えても良いですが、平面極座標で考えると便利です。
この時、Fig.3に示すように、おもりの変位 d\boldsymbol{r} の各成分は次式で表現できます。

\begin{aligned} (d \boldsymbol{r})_r &= dr \\ (d\boldsymbol{r})_{\theta} &= rd\theta \end{aligned} \tag{1}

また、速度成分は \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} から、

\begin{aligned} v_r &= \dot{r} \\ v_{\theta} &= r \dot{\theta} \end{aligned} \tag{2}

で書かれます。
したがって、運動エネルギー Tは次式となります。

T = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) \tag{3}

[ポテンシャルエネルギー]

ポテンシャルエネルギーは、おもりの位置エネルギーに加えて、ばねの弾性エネルギーを考えますと、次式で得られます。

U = \frac{k}{2}(r-l)^2 - m g r \cos\theta \tag{4}

これより、ラグランジアン L は

L = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - \frac{k}{2}(r-l)^2 + m g r \cos\theta \tag{5}

となるので、ラグランジュ運動方程式は次のように求められる。

\left\{ \begin{aligned} m\ddot{r} &= -k(r-l) + mg\cos\theta + mr\dot{\theta}^2 \\ m \frac{d}{dt}(r^2 \dot{\theta}) &= -mgr\sin\theta \end{aligned} \right. \tag{7}

時間の都合で今回はひとまずここまでです。
運動方程式を見た感じ、解析的に解くのは難しそうです。

次回はどうするか…勢いで初めたので、いろいろ試したいと思います。

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