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BCH符号前提数学知識 (代数系) 書き散らし

2024/07/29に公開

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まえがき

数学初心者です。
誤りがあったら指摘してください。
数学がわからない人になっているのでわからない人の気持ちを少しだけ分かった気になって書いてます。
気が向いたら加筆する。

"e.g." は例をあらわす。

元 element

集合 $A$ の要素 $a$ を元という。
$a \in A$ と表記する。
e.g. 集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ がある。このとき、 $1$ は $A$ の元だが $4$ は $A$ の元ではない。

単位元 identity element

$a \in A$ とする。
$a \circ e = e \circ a = a$ となる $e \in A$ を単位元という。
単位元はただ一つである。

e.g. 実数上の加法において単位元は 0, 実数上の乗法において単位元は 1

逆元 inverse element

$a \in A$ とする。
$a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = 1$ となる $a^{-1}$ を逆元という。

e.g. 実数上の加法において逆元は $-a$ , 実数上の乗算において逆元は $\dfrac{1}{a}$

零元 zero element

$a \in A$ とする。
$a \circ z = z \circ a = z$ となる $z \in A$ を零元という。

e.g. 実数上の乗法では零元は 0

構造

群 group

以下の 3 つの条件を満たす集合 $G$ と $G$ の上の (閉じている) 二項演算 $\circ$ : $G \times G \rightarrow G$ の組 $(G,\; \circ)$ を群という。

結合律が成り立つ
単位元をもつ
逆元をもつ

どのような演算であっても使える汎用の演算子を $\circ$ と表記する場合が多い。

巡回群

// TODO: 書く

巡回部分群

// TODO: 書く

アーベル群 abelian group

群の 3 条件に加えて可換律をもつ群を特別にアーベル群 (または可換群) と呼ぶ。

体 field

以下の 3 条件を満たす集合 $K$ と加法 $+$ と乗法 $\cdot$ の組 $(K, +, \;\cdot\;)$ を体 (たい) という。

$(K, +)$ はアーベル群である
$(K - \{0\}, \;\cdot\;)$ はアーベル群である
分配律が成り立つ

$K - \{0\}$ とは集合 $K$ から零元を除いたものを指す。
体の集合は $K$ で表わされることが多いが、これはドイツ語で体を表す Körper に由来する。

法則

結合律 associative law

$a, b, c \in A$ とする。
$a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c$ が成り立つことをいう。
要するに被演算子の順番を変えない限りどの順番で演算しても結果に影響しないという法則。

e.g. 実数上の加法, 乗法は結合律を満たす。
実数上の減法, 除法は結合律を満たさない。
$(9 \div 3) \div 3 = 36 \div (3 \div 3) = 1$
また、行列の加法と乗法は結合性である。

可換律 commutative law

$a, b \in A$ とする。
$a \circ b = b \circ a$ が成り立つことをいう。

e.g. 実数上の加法, 乗法や行列の加法は可換である。
一方で行列の乗法は可換ではない (順序を入れ換えると積が変わる)。

分配律 distributive law

$a, b, c \in A$ とする。加法 $+$ と乗法 $\times$ が定義されているとき、

$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
$(a + b) \times c = a \times c + b \times c$

が成り立つことをいう。

その他

二項演算 binary operation

二項演算は一般的な四則演算と同様に 2 つの値を取って 1 つの値を返す演算である。
どのような演算であっても (たとえ加法でも) 演算の結果を積と呼ぶ場合がある。
また、このときに演算子に与えられる 2 つの値をオペランド, 被演算子, 引数などと呼ぶ。
e.g. $1 + 2 = 3$

閉じている二項演算 ( $G \times G \rightarrow G$ ) とは、被演算子と積がどちらも集合 $A$ の元である二項演算を指す。
e.g. 集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ があるとき、 $1 + 2 = 3$ は閉じているが $2 \times 3 = 6$ は $6$ が $A$ の元ではないため閉じていない。