https://zenn.dev/honwakasan/articles/b9ae08fd8a694e の第8章の解答例です.
演習問題8.1
目的変数のカテゴリー数 J が J = 2 のとき, 名義ロジスティック回帰, 累積ロジットモデル, 隣接カテゴリーロジットモデル, 連続比ロジットモデルが2値データに対するロジスティック回帰モデルに帰着されることを示す.
名義ロジスティック回帰
名義ロジスティック回帰は, 一般にカテゴリー数を J, 基準カテゴリーを \pi_1 とすると, j = 2, 3, \ldots , J に対して
\begin{aligned}
logit(\pi_j) = \log \left(\frac{\pi_j}{\pi_1} \right) = x^T \beta_j
\end{aligned}
と表されていた. J = 2 のとき, \pi_1 + \pi_2 = 1 なので, 上式を変形することで,
\begin{aligned}
\log \left(\frac{\pi_2}{1 - \pi_2} \right) = x^T \beta
\end{aligned}
を得る. これは, 2値データに対するロジスティック回帰モデルである.
累積ロジットモデル
累積ロジットモデルは, 一般にカテゴリー数を J とすると, j = 2, 3, \ldots , J に対して, 累積オッズを
\begin{aligned}
\frac{P(z > C_j)}{P(z \le C_j)}= \frac{\pi_{j+1} + \cdots + \pi_J}{\pi_{1} + \cdots + \pi_j}
\end{aligned}
で定義し, 累積ロジットモデルを
\begin{aligned}
\displaystyle \log \left(\frac{P(z > C_j)}{P(z \le C_j)} \right) = x^T \beta_j
\end{aligned}
で定義していた. J = 2 のとき, j = 1 のときのみ許されるので, \pi_1 + \pi_2 = 1 であることも用いると, 上式を変形することで
\begin{aligned}
\frac{P(z > C_1)}{P(z \le C_1)}
&= \frac{\pi_2}{\pi_1} \\
&= \frac{\pi_2}{1 - \pi_2}
\end{aligned}
つまり,
\begin{aligned}
\log \left(\frac{\pi_2}{1 - \pi_2} \right) = x^T \beta
\end{aligned}
を得る.
隣接カテゴリーロジットモデル及び連続比ロジットモデル
隣接カテゴリーロジットモデルと連続比ロジットモデルは, J = 2 とすると, 定義より
\begin{aligned}
\log \left(\frac{\pi_2}{\pi_1} \right) &= \log \left(\frac{\pi_2}{1 - \pi_2} \right) \\
&= x^T \beta
\end{aligned}
を導ける.
Discussion