解答

\begin{aligned} \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}s}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}s}\right)^2}&=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}\right)^2}\\ &=\left|\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}\right|\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\right)^2}\\ &=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\right)^2} \end{aligned}

である．ここで

s(t)=\int_a^t\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\right)^2}\mathrm{d}t

より

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\right)^2}

である．よって

\begin{aligned} \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}s}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}s}\right)^2}&=\frac{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\right)^2}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\\ &=1 \end{aligned}

である．

解説

第2問全体について

平面内の曲線に関するベクトル解析の問題です．小問はすべて証明・説明問題となっています．

(1)について

sは弧長とも呼ばれます．曲線\boldsymbol{p}をsで微分した接線ベクトル\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}s}の大きさが1であることを示す問題です．この接線ベクトルは単位接線ベクトルであるということがわかります．