Chapter 02無料公開

(1) 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2022.07.27に更新
このチャプターの目次

解答

複素平面上の積分経路C
積分経路を図のようにC=C_1+C_2+C_3+C_4とする.ただしR\gt|d|とする.f(z)=\exp(-az^2)とおくとf(z)は正則であるので,コーシーの積分定理より

\oint_C f(z)\mathrm{d}z=0\tag{I}

となる.なお,式(I)はdの正負によらず成り立つ.ここで,

\oint_C f(z)\mathrm{d}z=\int_{C_1}f(z)\mathrm{d}z+\int_{C_2}f(z)\mathrm{d}z+\int_{C_3}f(z)\mathrm{d}z+\int_{C_4}f(z)\mathrm{d}z\tag{II}

であり,

\begin{aligned} \left|\int_{C_2}f(z)\mathrm{d}z\right|&=\left|\int_0^d \exp\left(-a(R+\mathrm{i}y)^2\right)\mathrm{d}y\right|\\ &\le\int_0^{|d|} \left|\exp\left(-a(R+\mathrm{i}y)^2\right)\right|\mathrm{d}y\\ &=\int_0^{|d|}\left|\exp(-2\mathrm{i}aRy)\right|\exp\left(-a(R^2-y^2)\right)\mathrm{d}y\\ &=\int_0^{|d|}\exp\left(-a(R^2-y^2)\right)\mathrm{d}y\\ &\le |d|\exp\left(-a(R^2-d^2)\right)\\ &\xrightarrow{R\to\infty}0, \end{aligned}
\begin{aligned} \left|\int_{C_4}f(z)\mathrm{d}z\right|&=\left|\int_d^0 \exp\left(-a(-R+\mathrm{i}y)^2\right)\mathrm{d}y\right|\\ &\le\int_0^{|d|} \left|\exp\left(-a(-R+\mathrm{i}y)^2\right)\right|\mathrm{d}y\\ &=\int_0^{|d|}\exp\left(-a(R^2-y^2)\right)\mathrm{d}y\\ &\le |d|\exp\left(-a(R^2-d^2)\right)\\ &\xrightarrow{R\to\infty}0 \end{aligned}

となるから,はさみうちの原理より,R\to\inftyのとき

\int_{C_2}f(z)\mathrm{d}z=\int_{C_4}f(z)\mathrm{d}z=0

となる.また,

\int_{C_1}f(z)\mathrm{d}z=\int_{-R}^R\exp(-ax^2)\mathrm{d}x

について,w=\sqrt{a}xとおくと

\begin{aligned} \int_{C_1}f(z)\mathrm{d}z&=\int_{-\sqrt{a}R}^{\sqrt{a}R}\exp(-w^2)\frac{1}{\sqrt{a}}\mathrm{d}w\\ &\xrightarrow{R\to\infty}\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^\infty\exp(-w^2)\mathrm{d}w\\ &=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{aligned}

となる.さらに,

\begin{aligned} \int_{C_3}f(z)\mathrm{d}z&=\int_R^{-R}\exp\left(-a(x+\mathrm{i}d)^2\right)\mathrm{d}x\\ &\xrightarrow{R\to\infty}-\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-a(x+\mathrm{i}d)^2\right)\mathrm{d}x \end{aligned}

となるから,式(I),(II)よりR\to\inftyのとき

\begin{aligned} \int_{C_1}f(z)\mathrm{d}z+\int_{C_3}f(z)\mathrm{d}z&=0\\ \sqrt{\frac{\pi}{a}}-\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-a(x+\mathrm{i}d)^2\right)\mathrm{d}x&=0 \end{aligned}
\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-a(x+\mathrm{i}d)^2\right)\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\tag{答}

となる.

解説

この大問はフーリエ変換を利用して偏微分方程式(波動方程式)を解く問題です.
(1)は実軸に平行な積分経路でのガウス積分を求める問題です.コーシーの積分定理を利用すると,結果として実軸上での積分と変わらないということがわかります.
s=\sqrt{a}(x+\mathrm{i}d)と置換して与えられた公式を直接利用することはできません.なぜなら,その場合は

\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-a(x+\mathrm{i}d)^2\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty+\mathrm{i}d\sqrt{a}}^{\infty+\mathrm{i}d\sqrt{a}}\exp\left(-s^2\right)\mathrm{d}s

となり,実軸上での積分にはならないからです.