解答

z_nの漸化式より

\begin{aligned} z_n&=\pm i^nz_0\\ &=\pm i^n \end{aligned}

となる．すなわち

z_n=i^n \text{または} -i^n

である．

(i) nが奇数，すなわちn=2k+1のとき

\begin{aligned} z_{2k+1}&=\pm i^{2k+1}\\ &=\pm(i^2)^ki\\ &=\pm(-1)^ki\\ &=\pm i \end{aligned}

より，

\mathrm{Re}(z_{2k+1})=0

となる．

(ii) nが偶数，すなわちn=2kのとき

\begin{aligned} z_{2k}&=\pm i^{2k}\\ &=\pm(i^2)^k\\ &=\pm(-1)^k\\ &=\pm 1 \end{aligned}

より，

\mathrm{Im}(z_{2k})=0

となる．

(i),(ii)より，nが奇数のとき\mathrm{Re}(z_n)=0，偶数のとき\mathrm{Im}(z_n)=0である．∎

解説

z_nは複素平面上の単位円上を\pm 90度ずつ移動していることが分かればよいでしょう．
n=2k,2k+1とすると，この問題はkに関する数学的帰納法でも示すことができます．