Chapter 02無料公開

(1) 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.07.11に更新
このチャプターの目次

解答

nに関する数学的帰納法により示す.
[I] n=1のとき

\begin{aligned} f_1(x)&=c\\ &=cx^0\\ &=c_1x^{a_1} \end{aligned}

[II] f_n(x)=c_nx^{a_n}が成り立つと仮定すると

\begin{aligned} f_{n+1}(x)&=p\int_0^x(f_n(t))^{1/q}\mathrm{d}t\\ &=p\int_0^x(c_nt^{a_n})^{1/q}\mathrm{d}t\\ &=p(c_n)^{1/q}\int_0^xt^{q^{-1}a_n}\mathrm{d}t\\ &=p(c_n)^{1/q}\frac{x^{q^{-1}a_n+1}}{q^{-1}a_n+1}\\ &=\frac{p(c_n)^{1/q}}{q^{-1}a_n+1}x^{q^{-1}a_n+1}\\ &=\frac{p(c_n)^{1/q}}{a_{n+1}}x^{a_{n+1}}\\ &=c_{n+1}x^{a_{n+1}} \end{aligned}

となる.
[I],[II]より,n=1,2,\dotsに対してf_n(x)=c_nx^{a_n}と表される.∎

解説

関数列\{f_n\}と実数列\{a_n\},\{c_n\}の漸化式が与えられ,示したい式f_n(x)=c_nx^{a_n}も与えられているので,数学的帰納法を用いて簡単に証明することができます.