Chapter 02無料公開

(1) 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.07.08に更新
このチャプターの目次

解答

(i)

行列\bm{A}を簡約階段化すると

\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

となる.よって\mathrm{rank}\bm{A}=2である.ゆえに\bm{a}_1,\bm{a}_2,\bm{a}_3のうち線形独立なベクトルの最大個数は2である.

(ii)

\bm{a}_4=x_1\bm{a}_1+x_2\bm{a}_2+\bm{a}_3

と仮定すると

\begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-1\\ x_1+x_2\\ x_2+1 \end{pmatrix}
\therefore x_1=3,x_2=1

となる.よって\bm{a}_4

\bm{a}_4=3\bm{a}_1+\bm{a}_2+\bm{a}_3

として\bm{a}_1,\bm{a}_2,\bm{a}_3の線形和で表される.∎

(iii)

(ii)より\bm{a}_4\bm{a}_1,\bm{a}_2,\bm{a}_3の線形和で表されるから「\bm{a}_1,\bm{a}_2,\bm{a}_3,\bm{a}_4のうち線形独立なベクトルの最大個数」は(i)で求めた「\bm{a}_1,\bm{a}_2,\bm{a}_3のうち線形独立なベクトルの最大個数」に等しく2である.

解説

線形独立についての理解が問われる基本問題です.
(iii)は(i)と同様に拡大係数行列\overline{\bm{A}}を簡約階段化して求めることもできます.