Chapter 02無料公開

(1) 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.07.31に更新
このチャプターの目次

解答

平均値E[T]

\begin{aligned} E[T] &=\int_{-\infty}^\infty tf(t)\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty t\lambda e^{-\lambda t}\mathrm{d}t\\ &=-\int_0^\infty t\left(e^{-\lambda t}\right)'\mathrm{d}t\\ &=-\left[te^{-\lambda t}\right]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-\lambda t}\mathrm{d}t\\ &=0+\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}\right]_0^\infty\\ &=0-\left(-\frac{1}{\lambda}\right) \end{aligned}
\therefore E[T]=\frac{1}{\lambda}\tag{答}

である.

確率分布関数F(t)

\begin{aligned} F(t) &=P(T\lt t)\\ &=\int_{-\infty}^t f(t)\mathrm{d}t\\ \end{aligned}

である.よって,t\lt 0のとき

F(t)=0

となり,t\ge 0のとき

\begin{aligned} F(t) &=\int_0^t\lambda e^{-\lambda t}\mathrm{d}t\\ &=\left[-e^{-\lambda t}\right]_0^t\\ &=1-e^{-\lambda t} \end{aligned}

となる.ゆえに

F(t)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda t} & (t\ge 0)\\ 0 & (t\lt 0) \end{cases}\tag{答}

である.

解説

確率密度関数から平均値(期待値)と確率分布関数を積分により求める問題です.