Chapter 02無料公開

(1) 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.07.31に更新
このチャプターの目次

解答

n=mのとき

\begin{aligned} \int_0^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\mathrm{d}x &=\int_0^1\sin^2(n\pi x)\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1\frac{1-\cos(2n\pi x)}{2}\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}\left[x-\frac{\sin(2n\pi x)}{2n\pi}\right]_0^1\\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}

となる.

n\ne mのとき

\begin{aligned} \int_0^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\mathrm{d}x &=\frac{1}{2}\int_0^1[\cos((n-m)\pi x)-\cos((n+m)\pi x)]\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-m)\pi x)}{(n-m)\pi}-\frac{\sin((n+m)\pi x)}{(n+m)\pi}\right]_0^1\\ &=0 \end{aligned}

となる.

よって

\int_0^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\mathrm{d}x =\begin{cases} \frac{1}{2} & (n=m)\\ 0 & (n\ne m) \end{cases}\tag{答}

である.

解説

三角関数(正弦関数)の直交性を示す問題です.
積和の公式を用いることで積分を計算することができます.