解答
n=mのとき
\begin{aligned}
\int_0^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\mathrm{d}x
&=\int_0^1\sin^2(n\pi x)\mathrm{d}x\\
&=\int_0^1\frac{1-\cos(2n\pi x)}{2}\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{2}\left[x-\frac{\sin(2n\pi x)}{2n\pi}\right]_0^1\\
&=\frac{1}{2}
\end{aligned}
となる．
n\ne mのとき
\begin{aligned}
\int_0^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\mathrm{d}x
&=\frac{1}{2}\int_0^1[\cos((n-m)\pi x)-\cos((n+m)\pi x)]\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-m)\pi x)}{(n-m)\pi}-\frac{\sin((n+m)\pi x)}{(n+m)\pi}\right]_0^1\\
&=0
\end{aligned}
となる．
よって
\int_0^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\mathrm{d}x
=\begin{cases}
\frac{1}{2} & (n=m)\\
0 & (n\ne m)
\end{cases}\tag{答}
である．
解説
三角関数（正弦関数）の直交性を示す問題です．
積和の公式を用いることで積分を計算することができます．
