Chapter 02無料公開

(1) 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.07.29に更新
このチャプターの目次

解答

\begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1}\\ z_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2\alpha & \alpha & \alpha\\ \alpha & 1-\alpha & 0\\ \alpha & 0 & 1-\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n\\ y_n\\ z_n \end{pmatrix}

であるから

\begin{aligned} x_{n+1}+y_{n+1}+z_{n+1} &=(1,1,1) \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1}\\ z_{n+1} \end{pmatrix}\\ &=(1,1,1) \begin{pmatrix} 1-2\alpha & \alpha & \alpha\\ \alpha & 1-\alpha & 0\\ \alpha & 0 & 1-\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n\\ y_n\\ z_n \end{pmatrix}\\ &=(1,1,1) \begin{pmatrix} x_n\\ y_n\\ z_n \end{pmatrix}\\ &=x_n+y_n+z_n \end{aligned}

となる.よって,x_n+y_n+z_nnによらず一定である.ゆえに

x_n+y_n+z_n=x_0+y_0+z_0\tag{答}

である.

解説

x_n+y_n+z_nはベクトル(x_n,y_n,z_n)^T(1,1,1)^Tの内積として表すことができます.

(1,1,1)Aは行列Aの各列の和を表す行ベクトルとなります.行列Aの各列の和は全て1なので

(1,1,1)A=(1,1,1)

となります.