解答
\begin{pmatrix}
x_{n+1}\\ y_{n+1}\\ z_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1-2\alpha & \alpha & \alpha\\
\alpha & 1-\alpha & 0\\
\alpha & 0 & 1-\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_n\\ y_n\\ z_n
\end{pmatrix}
であるから
\begin{aligned}
x_{n+1}+y_{n+1}+z_{n+1}
&=(1,1,1)
\begin{pmatrix}
x_{n+1}\\ y_{n+1}\\ z_{n+1}
\end{pmatrix}\\
&=(1,1,1)
\begin{pmatrix}
1-2\alpha & \alpha & \alpha\\
\alpha & 1-\alpha & 0\\
\alpha & 0 & 1-\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_n\\ y_n\\ z_n
\end{pmatrix}\\
&=(1,1,1)
\begin{pmatrix}
x_n\\ y_n\\ z_n
\end{pmatrix}\\
&=x_n+y_n+z_n
\end{aligned}
となる．よって，x_n+y_n+z_nはnによらず一定である．ゆえに
x_n+y_n+z_n=x_0+y_0+z_0\tag{答}
である．
解説
x_n+y_n+z_nはベクトル(x_n,y_n,z_n)^Tと(1,1,1)^Tの内積として表すことができます．
(1,1,1)Aは行列Aの各列の和を表す行ベクトルとなります．行列Aの各列の和は全て1なので
となります．
