解答

X_kの期待値は

\begin{aligned} E(X_k)&=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0\\ &=p \end{aligned}

であり，分散は

\begin{aligned} V(X_k)&=E(X_k^2)-\left[E(X_k)\right]^2\\ &=\left[p\cdot 1^2+(1-p)\cdot 0^2\right]-p^2\\ &=p(1-p) \end{aligned}

である．よって，X_1,X_2,\dots,X_nの総和の期待値は

\begin{aligned} E(X_1+X_2+\dots+X_n)&=E(X_1)+E(X_2)+\dots+E(X_n)\\ &=nE(X_k) \end{aligned}

\therefore E(X_1+X_2+\dots+X_n)=np\tag{答}

である．X_1,X_2,\dots,X_nは独立なので，総和の分散は

\begin{aligned} V(X_1+X_2+\dots+X_n)&=V(X_1)+V(X_2)+\dots+V(X_n)\\ &=nV(X_k) \end{aligned}

V(X_1+X_2+\dots+X_n)=np(1-p)\tag{答}

である．

解説

X_kはベルヌーイ試行を表しています．
ベルヌーイ試行の和が従う二項分布の期待値と分散を求める典型問題です．