Chapter 02無料公開

I. 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.02.07に更新
このチャプターの目次

解答

\begin{aligned} \mathcal{F}\left\{f'(x)\right\}(u)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f'(x)\exp(-iux)dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[f(x)\exp(-iux)\right]_{-\infty}^\infty\\ &\quad-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\left[-iuf(x)\exp(-iux)\right]dx\\ &=0+iu\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)\exp(-iux)dx \end{aligned}
\therefore\mathcal{F}\left\{f'(x)\right\}(u)=iu\hat{f}(u)\tag{答}

解説

微分(導関数)と他の関数の積を積分するので部分積分を行いました.
3行目では,|x|\to\inftyf(x)\to 0となることを用いています.