解答

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)とおく．ド・モアブルの定理より

z^5=r^5(\cos5\theta+i\sin5\theta)

であるから，z^5=1より

r^5(\cos5\theta+i\sin5\theta)=\cos2n\pi+i\sin2n\pi\quad(n\in\mathbb{Z})

となる．よって，

\left\{\begin{aligned} r^5&=1\\ 5\theta&=2n\pi \end{aligned} \right.

となる．rは実数なので

r=1

である．0\le\theta\lt 2\piとすると

\theta=\frac{2n\pi}{5}\quad(n=0,1,2,3,4)

である．ゆえに求める解は

z=\cos\frac{2n\pi}{5}+i\sin\frac{2n\pi}{5}\quad(n=0,1,2,3,4)\tag{答}

である．複素平面上に図示すると下図のようになる．

解説

極形式とド・モアブルの定理を用いて1の5乗根を求める典型問題です．