Chapter 02無料公開

I. 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.01.23に更新
このチャプターの目次

解答

tを実数として,x\gt 0のときx=e^tとおき,x\lt 0のときx=-e^tとおく.これらをあわせてx=\pm e^t(複号同順)と表すと,

\begin{aligned} \frac{dy}{dx}&=\frac{dt}{dx}\frac{dy}{dt}\\ &=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}\frac{dy}{dt}\\ &=\frac{1}{\pm e^t}\frac{dy}{dt}\\ &=\pm e^{-t}\frac{dy}{dt} \end{aligned}
\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\\ &=\frac{dt}{dx}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\\ &=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}\frac{d}{dt}\left(\pm e^{-t}\frac{dy}{dt}\right)\\ &=\frac{1}{\pm e^t}\left(\mp e^{-t}\frac{dy}{dt}\pm e^{-t}\frac{d^2y}{dt^2}\right)\\ &=-e^{-2t}\frac{dy}{dt}+e^{-2t}\frac{d^2y}{dt^2}\\ &=e^{-2t}\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right) \end{aligned}

となるから,

\begin{aligned} &\quad x^2\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+y\\ &=e^{2t}e^{-2t}\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)-\left(\pm e^t\right)\left(\pm e^{-t}\frac{dy}{dt}\right)+y\\ &=\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)-\frac{dy}{dt}+y\\ &=\frac{d^2y}{dt^2}-2\frac{dy}{dt}+y \end{aligned}

となる.よって,解くべき微分方程式は式(1)より

\frac{d^2y}{dt^2}-2\frac{dy}{dt}+y=\pm e^{3t}

となる.
まず,斉次解を求める.特性方程式を解くと

\begin{aligned} \lambda^2-2\lambda+1&=0\\ \left(\lambda-1\right)^2&=0\\ \lambda&=1 \end{aligned}

であるから,斉次解は

\begin{aligned} y&=C_1e^t+C_2te^t\\ &=C_1x+C_2x\ln\left|x\right| \end{aligned}

である.ここで,C_1,C_2は任意定数である.
次に,特殊解を求める.特殊解をy=Ae^{3t}とおくと

\begin{aligned} \frac{d^2y}{dt^2}-2\frac{dy}{dt}+y&=9Ae^{3t}-6Ae^{3t}+Ae^{3t}\\ &=4Ae^{3t}\\ 4Ae^{3t}&=\pm e^{3t} \end{aligned}

となる.e^{3t}\ne 0なので

\begin{aligned} 4A&=\pm 1\\ A&=\pm\frac{1}{4} \end{aligned}

となる.よって,特殊解は

\begin{aligned} y&=\pm\frac{1}{4}e^{3t}\\ &=\frac{1}{4}x^3 \end{aligned}

である.
したがって,一般解は

y=C_1x+C_2x\ln\left|x\right|+\frac{1}{4}x^3\tag{答}

である.
なお,式(1)よりx=0の瞬間はy=0となる.この一般解は定義域をx\ne 0として求めたものであるが,任意定数C_1,C_2の値によらず確かにx\to 0のときy\to 0となっている.

解説

オイラーの微分方程式です.