Chapter 02無料公開

I.1 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.02.12に更新
このチャプターの目次

解答

与方程式(1)は線形非斉次常微分方程式であるから,一般解は「同伴方程式(斉次方程式)の一般解+非斉次方程式の特殊解」として求められる.
まず,同伴方程式

\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}-3y=0\tag{I-1}

の一般解を求める.特性方程式

\lambda^2+2\lambda-3=0

より

\begin{aligned} (\lambda-1)(\lambda+3)&=0\\ \therefore \lambda&=1,-3 \end{aligned}

となるので,同伴方程式(I-1)の一般解は

y=C_1e^x+C_2e^{-3x}\quad(C_1,C_2:\text{任意定数})

である.
次に,もとの方程式(1)の特殊解を求める.y=e^x(A\cos x+B\sin x)とおくと

\begin{aligned} \frac{dy}{dx}&=e^x(A\cos x+B\sin x)+e^x(-A\sin x+B\cos x)\\ &=e^x[(A+B)\cos x-(A-B)\sin x], \end{aligned}
\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2}&=e^x[(A+B)\cos x-(A-B)\sin x]+e^x[-(A+B)\sin x-(A-B)\cos x]\\ &=2e^x(B\cos x-A\sin x) \end{aligned}

となるから,式(1)より

\begin{aligned} &\quad\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}-3y\\ &=2e^x(B\cos x-A\sin x)+2e^x[(A+B)\cos x-(A-B)\sin x]-3e^x(A\cos x+B\sin x)\\ &=e^x[(-A+4B)\cos x-(4A+B)\sin x]=e^x\cos x \end{aligned}

となる.よって

\left\{\begin{aligned} -A+4B&=1\\ 4A+B&=0 \end{aligned}\right.
\therefore A=-\frac{1}{17},B=\frac{4}{17}

となる.ゆえに,特殊解は

y=\frac{1}{17}e^x(-\cos x+4\sin x)

である.
したがって,求める一般解は

y=C_1e^x+C_2e^{-3x}+\frac{1}{17}e^x(-\cos x+4\sin x)\tag{答}

である.

解説

2階定数係数線形非斉次常微分方程式です.