3次単位行列を\boldsymbol{I}とすると,固有方程式は
\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=0
である.ここで
\begin{aligned}
\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})&=\begin{vmatrix}
\lambda-3&0&-1\\
1&\lambda-2&1\\
2&2&\lambda-1
\end{vmatrix}\\
&=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)
\end{aligned}
であるから,行列\boldsymbol{A}の固有値\lambdaは
(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)=0
\therefore \lambda=1,2,3\tag{答}
である.