データサイエンスとAIのための数学の目次

第1編　高校数学の確認

第1章　数と式
1.1　整数と実数
1.2　絶対値の性質
1.3　区間と不等式
1.4　指数法則
1.5　指数関数の基本計算
1.6　対数の定義
1.7　対数の性質
1.8　式の展開
1.9　因数分解
1.10　恒等式

第2章　関数とグラフ
2.1　関数の定義域と値域
2.2　一次関数
2.3　二次関数の標準形
2.4　二次関数の最大最小
2.5　指数関数のグラフ
2.6　対数関数のグラフ
2.7　関数の増減
2.8　逆関数

第3章　三角関数
3.1　三角比
3.2　弧度法
3.3　単位円
3.4　sin, cos, tan の性質
3.5　加法定理
3.6　三角関数の合成
3.7　周期と対称性

第4章　数列
4.1　等差数列
4.2　等比数列
4.3　Σ記号
4.4　数列の極限
4.5　無限級数の考え方

第5章　確率の基礎
5.1　順列
5.2　組合せ
5.3　確率の定義
5.4　条件付き確率
5.5　独立試行
5.6　二項分布
5.7　期待値

第2編　線形代数

第6章　ベクトル
6.1　ベクトルの成分表示
6.2　ベクトルの加法とスカラー倍
6.3　内積の定義
6.4　ベクトルの長さ
6.5　角度と直交
6.6　射影ベクトル
6.7　正規直交基底

第7章　行列
7.1　行列の定義
7.2　行列の加法とスカラー倍
7.3　行列の積
7.4　単位行列
7.5　転置行列
7.6　逆行列の定義

第8章　連立一次方程式
8.1　行列表現 Ax = b
8.2　基本変形
8.3　掃き出し法
8.4　階数
8.5　解の存在条件
8.6　最小二乗問題

第9章　行列式
9.1　行列式の定義
9.2　行列式の性質
9.3　余因子展開
9.4　クラメルの公式

第10章　固有値と固有ベクトル
10.1　固有値問題
10.2　特性方程式
10.3　対角化
10.4　対称行列の性質
10.5　直交対角化

第11章　特異値分解
11.1　特異値分解の定義
11.2　低ランク近似
11.3　データ圧縮への応用

第3編　微分積分

第12章　極限と連続
12.1　数列の極限
12.2　関数の極限
12.3　連続関数の性質

第13章　微分法
13.1　導関数の定義
13.2　基本関数の微分
13.3　積の微分
13.4　合成関数の微分
13.5　対数微分
13.6　関数の増減
13.7　極値問題

第14章　テイラー展開
14.1　多項式近似
14.2　テイラー展開の導出
14.3　誤差の考え方

第15章　積分法
15.1　不定積分
15.2　定積分
15.3　面積
15.4　平均値
15.5　数値積分の考え方

第16章　多変数関数
16.1　偏微分
16.2　勾配ベクトル
16.3　方向微分
16.4　ヘッセ行列
16.5　極値条件

第4編　最適化

第17章　最適化の基礎
17.1　最適化問題の定式化
17.2　必要条件

第18章　勾配法
18.1　勾配降下法
18.2　学習率
18.3　収束の条件
18.4　確率的勾配降下法
18.5　ミニバッチ法

第19章　発展的最適化
19.1　モーメンタム法
19.2　RMSProp
19.3　Adam

第20章　凸最適化
20.1　凸集合
20.2　凸関数
20.3　最適解の性質

第5編　確率と統計

第21章　確率
21.1　確率の公理
21.2　条件付き確率
21.3　独立
21.4　ベイズの定理

第22章　確率分布
22.1　確率変数
22.2　期待値
22.3　分散
22.4　二項分布
22.5　ポアソン分布
22.6　正規分布

第23章　標本分布
23.1　標本平均
23.2　標本分散
23.3　中心極限定理

第24章　推定
24.1　点推定
24.2　最尤推定
24.3　区間推定

第25章　検定
25.1　仮説検定の考え方
25.2　t検定
25.3　カイ二乗検定

第26章　回帰分析
26.1　単回帰
26.2　重回帰
26.3　最小二乗法
26.4　決定係数
26.5　残差分析

第6編　モンテカルロ法

第27章　乱数
27.1　一様乱数
27.2　乱数によるシミュレーション

第28章　モンテカルロ積分
28.1　期待値の近似
28.2　数値積分
28.3　分散と収束

第29章　サンプリング
29.1　重要度サンプリング
29.2　拒否サンプリング

第30章　MCMC
30.1　マルコフ連鎖
30.2　メトロポリス法
30.3　ギブスサンプリング

第7編　データサイエンス数学

第31章　データの前処理
31.1　中心化
31.2　標準化
31.3　共分散行列

第32章　次元削減
32.1　主成分分析
32.2　固有値との関係
32.3　特異値分解

第33章　距離と類似度
33.1　ユークリッド距離
33.2　内積類似度
33.3　コサイン類似度

第8編　機械学習

第34章　機械学習の枠組み
34.1　教師あり学習
34.2　教師なし学習
34.3　過学習と汎化

第35章　線形モデル
35.1　線形回帰
35.2　リッジ回帰
35.3　Lasso

第36章　分類モデル
36.1　ロジスティック回帰
36.2　確率モデル

第37章　ニューラルネットワーク
37.1　パーセプトロン
37.2　多層ネットワーク
37.3　誤差逆伝播

第9編　ベイズ統計と応用

第38章　ベイズ統計
38.1　事前分布
38.2　事後分布
38.3　ベイズ更新

第39章　ベイズ推定
39.1　MAP推定
39.2　予測分布

第40章　モンテカルロによるベイズ計算

第10編　発展的データ解析

第41章　数理モデリング
41.1　モデルの構築
41.2　誤差モデル

第42章　モデル評価
42.1　評価指標
42.2　交差検証

第43章　因果推論
43.1　相関と因果
43.2　交絡
43.3　因果効果

第44章　時系列分析
44.1　自己相関
44.2　ARモデル
44.3　ARMA・ARIMA
44.4　予測と評価