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BasaltDrift: 正値ランダム特徴と anytime-valid e-プロセスによる O(1)/token 逐次ドリフト検知

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タイトル
BasaltDrift: 正値ランダム特徴と anytime-valid e-プロセスによる O(1)/token 逐次ドリフト検知 —— 閉形式の非漸近保証・弱依存拡張・多尺度合成・実装規範まで

要旨
BasaltDrift は、高次元ストリームの分布変化（ドリフト）を列長に依存しないコストで検知する逐次手法である。指数核の正値ランダム特徴 φ∈ℝ^r（r は小定数）により十分統計を定数次元へ圧縮し、長期／短期の二重 EWMA と分散推定から自己正規化統計 Z_t を構成する。停止は、サブ指数 mgf 上界に基づく test-martingale（e-プロセス）E_t の anytime-valid 閾値判定 T=inf{t:E_t≥1/α} で行う。主結果は次のとおりである。(i) 型 I の時間一様制御：任意停止で P_0(T<∞)≤α、(ii) ドリフト強度 κ=∥E_{P1}[φ(X)]−E_{P0}[φ(X)]∥ に対し期待遅延上界 E_1[T−τ*]=O((log(1/α))/κ_eff^2)、(iii) β-mixing を仮定する弱依存ストリームへの拡張、(iv) 異時定数を束ねる多尺度合成の anytime-valid 性、(v) ORF/構造化乱数・量子化・補償和・log-e の数値規範により実装が安定であること。枝葉の設計を排し、（仮説生成を用いない）純統計的 O(1)/token 検知として査読に耐える非漸近理論・擬似コード・評価計画・監査仕様を提示する。

キーワード
anytime-valid inference, test-martingale, e-value, positive random features, softmax kernel, streaming change detection, self-normalization, β-mixing

――――――――――――――――

  1. 設定と記法
    ストリーム {X_t}_t⊂ℝ^d を逐次観測する。未知時刻 τ* で P_0→P_1 に切替わる単一変化点を基本とし、複数変化点／緩やかなドリフトは多尺度合成で扱う。入力は L2 正規化（∥X_t∥≈1）を推奨。温度 τ>0、特徴次元 r∈ℕ（小定数）、指数クリップ c>0、分散正則化 ε>0。長期／短期の学習率 β_b∈(0,1)、β_f∈(β_b,1]。記法：∘は要素積、∥·∥は 2-ノルム、𝔽_t=σ(X_1,…,X_t)。

ゴール：各時刻の更新と判定を O(r)（r を固定すれば O(1)/token）で実施し、偽陽性率 α を任意停止に対して時間一様に制御しつつ、κ が大きいほど（非漸近に）早く止まること。

  1. 正値ランダム特徴（指数核）とサブ指数性
    特徴定義：独立 w_i∼𝒩(0,I_d), i=1..r を固定し、
    φ_i(x)=r^{-1/2}·exp( s_i(x) ), s_i(x)=clip(⟨w_i,x⟩/√τ − ∥x∥^2/(2τ), −c, c)。
    φ(x)=(φ_1,…,φ_r)^⊤∈ℝ_+^r は非負で、無クリップなら E[φ(q)^⊤φ(k)]=exp(⟨q,k⟩/τ)。

サブ指数境界（固定定数）：0≤φ_i(x)≤e^c/√r だから、中心化変数 ξ_i:=φ_i−Eφ_i は ψ_1 ノルムで有界。従って任意の定数ベクトル a に対して
log E[exp{λ⟨a,ξ⟩}] ≤ ν^2 λ^2 / (2(1−b′|λ|))（|λ|<1/b′）
が成り立つ（Bernstein 型 mgf 上界）。ここで ν^2≲e^{2c}∥a∥2^2/r、b′≲e^{c}∥a∥∞/√r。r を増せば（固定 c で）ν^2,b′ は縮む。ORF（直交特徴）や SRHT/ランダム回転で分散係数をさらに下げられる。

核近似誤差：sup_{∥q∥,∥k∥≤1}|φ(q)^⊤φ(k)−exp(⟨q,k⟩/τ)|=O_p(√(log(1/δ)/r))。本手法では相対ランキングではなく自己正規化統計を使うため、この誤差は主に感度にのみ影響する。

  1. 自己正規化十分統計（更新は O(r)）
    各時刻 t で φ_t=φ(X_t) を計算し、以下を更新：
    m_t=(1−β_b)m_{t−1}+β_b φ_t　　　　　　　　　　（長期平均）
    f_t=(1−β_f)f_{t−1}+β_f φ_t　　　　　　　　　　（短期平均）
    v_t=(1−β_b)v_{t−1}+β_b (φ_t−m_{t−1})∘2　　　　（分散推定）
    d_t=f_t−m_t、 s_t=d_t∘(v_t+ε)^{−1/2}、 Z_t=∥s_t∥^2=∑i s{t,i}^2。
    計算は各座標で加減乗算と平方根・除算だけ。r を固定すれば O(1)/token、状態量は O(r)。

  2. e-プロセス構成（anytime-valid 停止）
    中心化増分 Y_t:=Z_t−b_t を取る。b_t は帰無下の安全側平均推定（ウォームアップ推定 or 長期窓の期待）。サブ指数パラメタ (ν_t^2,b′) に対し
    ψ_t(λ):=ν_t^2 λ^2 / (2(1−b′|λ|))（|λ|<1/b′）
    を対数 mgf の上界として採用。固定 λ では M_t(λ)=exp(λY_t−ψ_t(λ))、E_t(λ)=∏*{u≤t}M_u(λ)。有限集合 Λ={λ_ℓ} のミクスチャ
    E_t^{mix}=∑ℓ π_ℓ E_t(λ_ℓ)（∑π_ℓ=1）
    を用いると、E_t^{mix} は 𝔽_t-超過程（E[E_t^{mix}|𝔽    {t−1}]≤E*{t−1}^{mix}）。停止時刻
    T:=inf{t: E_t^{mix} ≥ 1/α}
    に対し Ville の不等式より P_0(T<∞)≤α。すなわち anytime-valid（時間一様）な型 I 制御が得られる。

設計ノート：b_t は静的でもよいが、ウォームアップで Z の平均を推定し更新停止（leaky でなく固定）にしておくと保守性が安定する。ψ_t はウォームアップで推定した分散上界 ν^2 を固定採用し、b′ はクリップ定数から解析的に置ける。

  1. ドリフト応答と遅延上界（非漸近）
    平均差 δ:=μ_1−μ_0（μ_j=E_{P_j}[φ(X)]）。τ* 後の期待は
    E[m_{τ*+t}]=μ_1−(1−β_b)^{t+1}(μ_1−μ_0)、
    E[f_{τ*+t}]=μ_1−(1−β_f)^{t+1}(μ_1−μ_0)。
    ゆえに E[d_{τ*+t}]=h_t δ、 h_t:=(1−β_b)^{t+1}−(1−β_f)^{t+1}。分散対角の期待 D:=E[v_t] を用いると E[Z_{τ*+t}]≈∥D^{-1/2} h_t δ∥^2。b_t を帰無平均に一致させれば Y_t の期待 Δ_t:=E_1[Y_{τ*+t}]≥c·h_t^2·∥D^{-1/2}δ∥^2−ζ（ζ は b_t ミスマッチの下駄）。λ を ψ の有効域で選ぶと
    E_1[T−τ*] ≤ (log(1/α)+C) / sup_{|λ|<1/b′}(λΔ−ψ(λ))
    = O((log(1/α))/κ_eff^2)、
    κ_eff:=h_min∥D^{-1/2}δ∥。すなわち、期待遅延は κ_eff^2 に逆比例（対数で α）。

最適 λ：ψ を二次近似（小 λ 領域）すれば λ*≈Δ/ν^2 で良い。域外なら境界 λ=sign(Δ)/(2b′) にクリップ。

近似最適性（スケッチ）：δ 既知の SPRT は O((log(1/α))/KL) 遅延。指数核の線形化下で KL≈Θ(κ^2)。BasaltDrift は κ_eff^2 で同一レートを達成（定数因子差）。

  1. β-mixing（弱依存）拡張
    φ_t 誘導過程が β-mixing（係数幾何減衰）なら、ブロック長 B を取り Ȳ_j=(1/B)∑_{u∈block j}Y_u に対し独立時と同形の mgf 上界を得る（ψ→ψ′ の保守化）。よって anytime-valid 制御と遅延上界は（log 係数の悪化を除き）維持。実装は ψ の分散上界 ν^2 をわずかに引き上げ、b′ を小さくする。

  2. 多尺度合成（BasaltDrift-MS）
    検出時定数が不明な場合、異なる (β_b^{(k)},β_f^{(k)}) を K 本並列に走らせ、各スケールで E_t^{(k)} を構成。二段ミクスチャ
    E_t^{MS}=∑_{k} ρ_k E_t^{(k)}
    も超過程（凸結合不変）なので anytime-valid 性は保持。計算・記憶は O(Kr)／O(Kr+K|Λ|)。K を小定数に保てば O(1)/token を維持。

  3. アルゴリズム（擬似コード）
    初期化：
    固定乱数種で w_i を生成（ORF/構造化乱数可）。m=f=0、v=ε·1、logE_ℓ=0（ℓ∈Λ）。
    ハイパ：r,τ,c,ε,β_b,β_f, Λ, {π_ℓ}, α。ウォームアップ W で b と ν^2 を推定。
    ループ（各 t）：

  1. φ ← phi(X_t)（指数±c でクリップ）
  2. m ← (1−β_b)m + β_b φ
    f ← (1−β_f)f + β_f φ
    v ← (1−β_b)v + β_b (φ−m_prev)∘2
  3. s ← (f−m) ∘ (v+ε)^{−1/2}; Z ← ∥s∥^2
  4. for λ_ℓ∈Λ: logE_ℓ ← logE_ℓ + λ_ℓ(Z−b) − ψ(λ_ℓ)
    logE_mix ← logsumexp_ℓ(log π_ℓ + logE_ℓ)
    if logE_mix ≥ log(1/α): report drift; reset or cool-down
  5. 監査ログ：Z, logE_mix, クリップ率, min(v), ハイパ（署名付き）

計算量：各行 O(r)（Λ は小定数）。状態は O(r+|Λ|)。

  1. 実装規範（数値安定・高速化）
    精度と安定化：
    ・m,f,v の累積に Kahan 補償和（double）。(v+ε)^{−1/2} は fma を活用。
    ・e-プロセスは log-space に保持、比較は log(1/α)。
    ・プラットフォーム差：long double の実効精度は OS に依存。分母を long double に、なければ compensated sum を二重に。
    特徴計算：
    ・ORF（w 行列を直交化）で分散低減、SRHT/ランダム回転→スパース射影で O(d log r) 近似。
    ・GPU は φ をバッチ並列、EWMA は SoA 配置でメモリ合流。
    量子化：
    ・m,f,v を per-row スケールで 8–16bit 格納、演算は fp32/64 に昇格→再量子化。標準化で量子化誤差は緩和。
    運用フラグ：
    ・クリップ率（%）、min(v)、logE_margin:=logE_mix−log(1/α)、ヒットレート（擬似アラート頻度）。

  2. ハイパパラメータ設計
    r：目標感度 ε と信頼 1−δ に r≈C·log(1/δ)/ε^2。実務は 64–256。
    τ：√d を既定（scaled dot-product）。入力 L2 正規化と併用。
    β_b,β_f：有効窓長 L_b≈1/β_b、L_f≈1/β_f。急変なら β_f↑、背景平滑なら β_b↓。
    ε：1e−4 付近から。小さすぎはノイズ増幅、大きすぎは鈍化。
    Λ：{0.05,0.1,0.2} 等の小集合（等重み）。b′ 制約内に収める。
    c：30–50。偏りが r^{−1/2} 主項以下に収まる範囲で。
    α：運用上の許容偽陽性から直接設定（1e−3〜1e−6）。anytime-valid なので期間に依らず解釈一貫。

  3. 監査・再現・O(0) 接続
    各アラートで以下を署名付き JSON として保存：{seed,r,τ,c,ε,β_b,β_f,Λ,π,α, W,b,ν^2, Z_t,logE_mix, threshold, clip_rate, min(v)}。外部監査者は入力に触れず「署名検証＋閾値比較」だけで再現可（O(0)）。

  4. 評価設計（査読対応）
    データ：
    合成：平均シフト、分散シフト、相関回転、段階的・緩やかドリフト、複数変化点、AR(1) 弱依存。
    実データ：トピックドリフト対話ログ、ニュース系列、センサ系列。
    指標：
    平均検出遅延（ADL）、偽陽性率（FAR）、AUC/PR、p50/p99 レイテンシ、常駐メモリ、クリップ率、logE_margin。
    スイープ：
    r∈{32,64,128,256}、β_b∈{1e−3,1e−2}、β_f∈{0.05,0.1,0.2}、τ∈{0.5,1,2}·√d、α∈{1e−3…1e−6}、c∈{30,40,50}、ORF/SRHT 有無。
    アブレーション：
    e-プロセス→固定境界、ロバスト化（Catoni/MoM）有無、ORF 有無、Λ の本数、乱数種 10 本の分散（箱ひげ）。
    可視化：
    Z_t と logE_mix の時系列（停止点）、ADL vs κ_eff、FAR vs α、h_t プロファイル、クリップ率推移。

  5. 失敗様式と対処
    過敏（偽陽性↑）：r↓、c↓、β_f↓、Λ の λ を小さく、ψ を保守化、ε をやや増。
    鈍感（遅延↑）：r↑、β_f↑、β_b↓、ε↓、ORF を有効化。
    重尾・外れ値：Catoni/MoM 更新、Huber 標準化。
    強相関：ブロック e-プロセス（B を 10–100）、ψ′ を保守化。
    スケール跳変：τ・c の再校正、クリップ率監視で自動調整。

  6. 理論まとめ（命題一覧）
    命題 A（サブ指数 mgf 上界）：φ のクリップにより各座標は一様有界。線形和・指数窓もサブ指数で mgf 上界が成立。
    定理 1（型 I anytime-valid）：E_t^{mix} は超過程、T=inf{t:E_t^{mix}≥1/α} に対し P_0(T<∞)≤α。
    定理 2（遅延上界）：E_1[T−τ*]=O((log(1/α))/κ_eff^2)。
    命題 B（弱依存補正）：β-mixing 下のブロック化で ψ→ψ′ の保守化により定理 1–2 維持。
    命題 C（多尺度合成）：凸結合で anytime-valid 性は不変。
    系（近似最適性）：既知差 SPRT のオーダと一致（定数因子差）。

――――――――――――――――
付録 A：証明スケッチ
A.1 型 I 制御
E[exp(λY_t−ψ_t(λ))|𝔽_{t−1}]≤1（mgf 上界）より E_t(λ) は超過程。凸結合で E_t^{mix} も超過程。Ville: P(sup_t E_t^{mix}≥1/α)≤α。
A.2 遅延上界
τ* 後に E[Y_t]≥Δ>0（h_min と D に依存）。logE の期待増分が λΔ−ψ(λ) で下から抑えられる。optional stopping で E[T] は (log(1/α))/ (λΔ−ψ(λ)) の上界。最適 λ で主張。
A.3 弱依存
β-mixing に対するブロック mgf 境界（独立時の ψ に O(·) を加える）。境界は λ の許容域を狭めるが超過程性は残る。
A.4 多尺度
E^{MS} は凸結合、超過程性は線形性で保存。Ville もそのまま適用。

付録 B：実装チェックリスト
乱数種固定（w）、入力 L2 正規化、クリップ率監視、Kahan 補償和、(v+ε)^{−1/2} 安定実装、log-sum-exp、ORF/SRHT スイッチ、量子化スケール、監査ログ（ハッシュ付き）。

付録 C：パラメータ早見表
r: 64–256 / τ: √d / β_b: 1e−3〜1e−2 / β_f: 0.05〜0.2 / ε: 1e−4 / c: 30–50 / α: 1e−3〜1e−6 / Λ: {0.05,0.1,0.2}。

付録 D：O(0) 監査レコード例
{
"algo":"BasaltDrift","seed":42,"r":128,"tau":"sqrt(d)","clip":40,
"beta_b":0.01,"beta_f":0.1,"epsilon":1e-4,"alpha":1e-4,
"lambda_set":[0.05,0.1,0.2],
"warmup":{"W":1000,"b":1.97,"nu2":0.83},
"event":{"t":123456,"logE":9.35,"threshold":9.21,"clip_rate":0.7%,"min_v":3e-3},
"sig":"…"
}

補記.1 — ウォームアップと (b_t, nu^2) 推定の一貫性
ウォームアップ長 W で帰無下の基準を推定する。Z_t の平均を barZ = (1/W) * sum_{t<=W} Z_t とし、以後は b_t = barZ を固定（リーキー更新は行わない）。分散上界は nu^2 = c_nu * Var_hat(Z_t) の保守設定とする（c_nu >= 1）。anytime-valid 性は「mgf 上界が常に成立」することに依存するため、推定の不確かさは psi_t の過大評価で吸収する。監視対象は t > W に限定すれば、P0(T < infinity) <= alpha は厳密に保たれる。

補記.2 — lambda ミクスチャ設計と二側検知
Lambda = {lambda_l} を (0, 1/b') 内に 3〜7 点（等比または等間隔）取り、重み pi_l は等重みでよい。符号不明や逆ドリフトに備えるなら、+lambda と -lambda の二本立てを独立に走らせ、E_2s(t) = 0.5 * sum_l (E(t, +lambda_l) + E(t, -lambda_l)) を用いる。更新は常に対数空間で行い、logE(t, lambda) = logE(t-1, lambda) + lambda * (Z_t - b) - psi(lambda)。|lambda| は 1/b' 未満にクリップして超過程性を保証する。

補記.3 — ORF/SRHT の生成規範と計算量
分散低減のため ORF（直交ガウス）または SRHT を推奨する。ORF は d×r ガウス行列を QR 分解して列直交化し、列スケールを元に戻す。SRHT は w = (1/sqrt(d)) * D * H * P * u の形で生成する（D は符号 ±1 の対角、H は Walsh–Hadamard、P は座標サンプル）。射影 z = <w_i, x> は ORF で O(d)、SRHT で O(d log d)。特徴は phi_i = r^(-1/2) * exp(z/sqrt(tau) - ||x||^2/(2*tau)) を clip c 後に計算する。乱数種と生成方式（QR/SRHT）のハッシュを監査ログに保存し再現性を担保する。

補記.4 — beta-mixing 下のブロック e-過程
beta(l) <= C * rho^l（幾何減衰）を仮定し、ブロック長 B を選ぶ。Y_t を逐次保持し、B ステップごとにブロック平均 Ybar_j = (1/B) * sum_{u in block j} Y_u を形成して e-更新を 1 回行う。mgf 上界は psi -> psi_tilde = kappa_B * psi に保守化（kappa_B >= 1）。経験則として B ≈ ceil(c_B * log(1/alpha)) を用い、kappa_B は 1 + 2 * sum_{l>=1} beta(l) を上から抑える。ブロック内は累積のみなので 1 トークンあたりの計算は O(1) を維持できる。

補記.5 — 多尺度合成 E_MS の重み付け
スケール集合 {(beta_b^(k), beta_f^(k))}_{k=1..K} を対数間隔で設計し、h_t^(k) の感度が広い時定数域を均等に覆うようにする。重み rho_k は sum_k rho_k = 1 を満たす等重みで十分。短期検出を優先したい場合は rho_k ∝ 1/lag_k。e-過程の凸結合は anytime-valid を保つため、基底特徴の共有による相関があっても型 I 制御は影響を受けない。計算・記憶は O(K r) / O(K r + K |Lambda|)、K は 3〜5 の小定数に抑える。

補記.6 — クリップ c と温度 tau の自動調整
クリップ率 pi_c = Pr(|s_i| > c) を監視し、目標帯 [0.1%, 1%] を外れたら段階的に調整する。anytime-valid を壊さないため運用では c を縮小方向（より保守的）にしか動かさない。tau は median(||X_t||)^2 / d に比例させてスケールド dot-product の安定域に置く。tau が大き過ぎると kappa が減衰し鈍感化、小さ過ぎると phi が重尾化して mgf 域が狭まるため、pi_c と ADL の変化を見ながら二段階で調整する。

補記.7 — 重尾・外れ値へのロバスト化（Catoni/MoM）
phi の一様上界が崩れる状況では、Z_t をそのまま用いず、Catoni のロバスト平均 Cat_alpha(Z) を短期・長期に導入し、s_t を「ロバスト差 / ロバスト分散」で構成する。あるいは MoM（median-of-means）で r 次元を G グループに分割し、各群平均の分位から正規化係数を決める。mgf 上界はより保守的になる（psi を増幅、許容 |lambda| を縮小）が、更新は群ごとの定数演算に留まり O(1)/token を維持できる。

補記.8 — 検出後のリセットとクールダウン
検出直後に連続警報を避けるため、(i) m を f に同時化して新常態へ即移行、(ii) W_cool ステップ監視保留、(iii) すべての logE を 0 に再初期化、を採用する。anytime-valid は各エピソードに独立に適用でき、全体の家族誤差は sum_j alpha_j で上から抑えられる。運用は alpha_j を一定または alpha_0 * gamma^j で配分。多変化点では検出間隔と偽警報のトレードオフとして W_cool を校正する。

補記.9 — 多ストリーム同時監視
M 本のストリームに対し、それぞれ e-過程 E^(m)(t) と閾値 1/alpha_m を割り当て、sum_m alpha_m <= alpha_global（Bonferroni-e）で家族誤差を制御する。感度優先なら alpha_m をトラフィックや重要度に比例配分する。FDR 制御が必要なら e-value 版 LORD/SAFFRON を用い、到達 e 値に基づき順序適応的に閾値を配賦する（配賦列の事前公表が望ましい）。基底特徴を共有（同一 ORF）しても anytime-valid は壊れないが、依存で実効力が落ちるため nu^2 を微増して保守化する。

補記.10 — 数値規範（log-e 空間、補償和、量子化）
e-更新は常に対数空間で行い、停止判定は logE_mix >= log(1/alpha) を比較する。psi(lambda) は log1p/expm1 を使って安定化し、(v + epsilon)^(-1/2) は FMA を活用する。m, f, v の累積は Kahan/Neumaier の補償和を用い、演算は少なくとも fp32、格納は列スケール付き INT16/INT8 へ量子化（scale は監査ログに保存）。アンダーフロー対策として logE に下限を設け、|lambda| < 1/b' を常時保証するクリップを入れる。

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LASCAUX Research Line — grey-paper edition; intentionally casual, under internal review.

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