確率○○　まとめ

はじめに

確率○○とつく単語が多くて混乱していたので，以下の書籍を参考にしてまとめた内容をメモします．
自学した内容なので誤りなどありましたらご指摘いただけると幸いです．
https://www.kspub.co.jp/book/detail/1565715.html

確率変数と確率

ここは高校時代の復習です．
確率変数とは「事象」を一般化したものになります．コイン投げの場合は[表，裏]が事象（確率変数の取りうる値）であり，六面体サイコロでは[1の出目，2の出目，...，6の出目]が事象となります．そして各事象が発生しうる割合を確率になります．
以下に歪んだコイン投げの確率を図示します．

確率密度関数と確率（密度）

前章では，離散的な確率変数に対応する確率を考えました．これを連続的な確率変数 $X$ に対する関数 $f(X)$ としたものを確率密度関数といい，この関数の下側の面積を確率（密度）といいます．これは学部１回生の内容の復習です．
以下に確率密度関数 $f(X)$ の例を図示します．

確率変数と確率（測度）

前章で示した確率密度は，確率密度関数の下側の面積，つまり確率密度関数のリーマン積分として導出されます．そのため，ある特定の確率変数に対応する確率は $0$ になります．したがって，確率密度関数では，確率変数のある範囲 $[a,b]$ に対する確率は導出できますが，ある値 $a$ に対する確率は $0$ になります．
この問題を解決するため，確率変数を空でない全体集合 $\Omega$ の要素 $\omega$ に対する関数 $X(\omega)$ として定義し，確率変数のある範囲に対応する部分集合の大きさを測ることで確率を導出すします．この確率（測度）は集合に対する測度となるため，極限とることで確率変数のある値に対する確率を導出できます．
以下に確率密度関数 $f(X)$ と確率変数 $X(\omega)$ の関係を図示します．