本記事は，以下の書籍の内容を参考にした勉強メモです．
https://www.kspub.co.jp/book/detail/1565715.html
重要な議論を飛ばしてイメージ先行で書いていますので，誤り等ありましたらコメントください．
準備
加算無限・非加算無限
任意の集合を考えるとき，それらは集合の要素数に応じて「有限集合」と「無限集合」に分けられる．この無限集合のうち，自然数 \mathbb{N} と1対1で対応がつけられるものを特に加算無限集合であるといい，逆にそうでないものは非加算無限集合であるという．
例えば，3の倍数の集合の要素はある自然数を3倍したものと考えられるため加算無限集合であり，有理数全体の集合は非加算無限集合である．
集合族と冪（べき）集合
要素が集合である集合を集合族といい，ある集合 A のすべての部分集合を要素とする集合族を冪集合という．
一般の和集合・積集合と直和
ある集合族 \{A_\alpha\}_{\alpha\in \Lambda}を考える．この添え字集合 \Lambdaが有限・加算無限・非加算無限にかかわらず，この要素同士の和集合と積集合は以下で定義される．
\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda = \{x\in S: \exist\lambda\in\Lambda, x\in A_\lambda\} \\
\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda = \{x\in S: \forall\lambda\in\Lambda, x\in A_\lambda\}
また，集合族\{A_\alpha\}_{\alpha\in \Lambda}の各要素が共通部分を持たない場合，この集合族を非交差的であるといい，非交差的な集合族の和集合を直和であるという．
A=\sqcup_{\lambda}A_\lambda
\sigma-加法族・可測集合・可測空間
ある空でない集合 Sに対して部分集合の集合族 \mathcal{M}が以下の性質を満たすとき，\mathcal{M}を \sigma-加法族という．
\begin{align}
1.& \emptyset\in\mathcal{M} \\
2.& A\in\mathcal{M} => A^\mathcal{C}\in\mathcal{M} \\
3.& \bigcup_n^\infin A_n = A_1\cup A_2\cup ... \in\mathcal{M}
\end{align}
また，Sの部分集合で \sigma-加法族 \mathcal{M}に属するもの( A_n) を可測集合といい，これらの組 (S, \mathcal{M})を可測空間と呼ぶ．
測度・測度空間
可測空間(S, \mathcal{M})に対し， \mathcal{M}上で定義される関数 \muが以下を満たすとき， 写像\muを測度(measure) という．
\begin{align}
1.& \forall A\in\mathcal{M} => 0\leq\mu(A)\leq\infin, \mu(\emptyset)=0 \\
2.& \mu(\bigcup_{n=1}^\infin A_n)=\sum_{n=1}^\infin \mu(A_n)
\end{align}
このS, \mathcal{M}, \muの組(S, \mathcal{M}, \mu)を測度空間という．
また， \mu(N)=0となる N\in\mathcal{M}を零集合といい，測度０の集合を除外する際に便利である．
確率と測度
確率を完全に説明することはできていない（らしい）が，以下で説明する確率空間と確率の定義が，現状では理論と応用で最も成功している．
確率とは，ある集合 \Omegaの部分集合の集合族のうち，ある よい性質を持つ集合族 \mathcal{F} から実数への，ある よい性質を持つ写像 P のことであり，この三つ組み (\Omega, \mathcal{F}, P)を考える．
この(\Omega, \mathcal{F}, P)が測度空間であり，かつ P(\Omega)=1である場合，(\Omega, \mathcal{F}, P)は確率空間となる．この P(A), A\in\mathcal{F}が事象Aの確率であり， \sigma-加法族 \mathcal{F}は事象の集合であると言える．
ここで，\mathcal{F}が有限集合，つまり事象A_1, A_2, ..., A_Nが有限個である場合，確率P(A_n)とは何になるかを考える．定義から，P(A_n)は測度であるため式(5)が成り立ち，さらにA_nが可測集合であるため式(3)が成り立つ．このことから，事象A_nとは測度によって何かしらの大きさに写像され，かつ事象の和の大きさと事象の大きさの和が等しいことがわかる．つまり確率とは，有限個の事象（集合）に対して大きさを定義する写像であり，一般の大きさ（長さ，面積，重さなど）と同様に加算が可能である．
拡張定理 （\mathcal{F}が無限集合の場合）
前章では，\mathcal{F}が有限集合の場合に限定して確率を考えた．\mathcal{F}が無限集合の場合，すべての要素（事象）に対する確率を直感的に決定することは困難である．（式(5)とP(\Omega)=1とか？）そこで，有限の場合に構成しておき，その性質を保つようなものが無限の状況に存在するかを問う．これを「拡張」という．
ここでは拡張定理の説明は飛ばして，適用例のみ説明する．
参考：ホップの拡張定理
空でない集合 S上の有限加法族 \mathcal{A}（ \sigma-加法族でなくてもいい）上の有限加法的測度 \nu（測度ではない）は， \nuが \mathcal{A}上で\sigma-加法的であれば， \mathcal{A}から生成された\sigma-加法族\sigma[\mathcal{A}]上の測度 \muに拡張できる．さらに， (S,\mathcal{A},\nu)が\sigma-有限ならば，この拡張された測度 \muは一意的である．
拡張定理の適用例 （無限回のコイン投げ）
標本集合 \Omegaを以下のように定義する．
\Omega = \{(\omega_n)_{n\in\mathbb{N}}:\omega_n\in\{H,T\}\}
ここで，H/T は表/裏を表し， (\omega_n)_{n\in\mathbb{N}}は無限列 \omega_1\omega_2\omega_3 ...を表す．
この無限集合\Omegaの上に問題に沿った \sigma-加法族と確率測度を構成したい．任意の自然数 kと任意の自然数 n_1<n_2<…<n_kと \{H,T\}の要素 \epsilon_1,…,\epsilon_kに対し，
A(n_1,...,n_k;\epsilon_1,...,\epsilon_k)=\{(\omega_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\Omega:\omega_{n_1}=\epsilon_1,...,\omega_{n_k}=\epsilon_k\}
の形の部分集合を考える．つまり，無限列に対し有限個の場所とそこでの結果は指定するが，そのほかは何でもよい，という集合である．この形の部分集合とそれらの有限和集合のなす集合族 \mathcal{A}上の集合関数 Pを「表の出る確率」 p(0<p<1)について，
P(A(n_1,...,n_k;\epsilon_1,...,\epsilon_k)) = p^m(1-p)^{k-m}
で定める．ここで， mは\epsilon_1,…,\epsilon_kの中のHの個数となる．あとは，この Pが \mathcal{A}上で \sigma-加法的であることを確認すればよい．（これがちょっと難しい…）
ルベーグ測度
上記のように，（例えば）任意の確率にとって良い性質を持つ\sigma-加法族 \mathcal{F}や写像 Pを一意に構成するのは容易ではない．そこで， n次元ユークリッド空間 \mathbb{R}^n上の大きさ（長さ，面積，重さといった概念）と自然に対応する一様な測度をルベーグ測度といい，ルベーグ測度空間は (\mathbb{R}, \overline{\mathcal{B}(\mathbb{R})}, \overline{l})と表現される．
簡単に説明すると，ルベーグ測度とは，実数全体を標本集合とし，実数上のすべての開区間のなる集合族から生成される \sigma-加法族（ボレル集合族）を対象とし，任意の二要素 a<b\in\mathbb{R}に対して l((a,b])=b-aとする写像である．
また， \overline{l}は完備化を示しており，測度空間(\mathbb{R}, {\mathcal{B}(\mathbb{R})}, {l})の写像 lの零集合 Nがあるとき， 以下が成り立つ．
\overline{\mathcal{B}(\mathbb{R})} = \{B\cup Z : B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}), Z\subset N\in\mathcal{B}(\mathbb{R}), l(N)=0\} \\
\overline{l}(B\cup Z) = l(B)
まとめ
測度とは，一般的な大きさ（長さ，面積，重さなど）の概念の抽象化である．
確率とは，有限個の事象（集合）に対して大きさを定義する写像であり，一般の大きさ（長さ，面積，重さなど）と同様に加算が可能である．
また，確率とは，無限列に対し有限個の場所とそこでの結果は指定するが，そのほかは何でもよい，という集合を定義することで，無限列についても拡張可能である．
ルベーグ測度とは，n次元ユークリッド空間 \mathbb{R}^n上の大きさ（長さ，面積，重さといった概念）と自然に対応する一様な測度である．
Discussion