時空間データと確率場の勉強

時空間データとは

時空間などの連続して分布する地点において，実験や観測によって採集されるデータは時空間データと呼び，このデータ内における時空間的相互作用を明確に考慮した統計モデルの解析，構築を目的とした解析は 時空間統計解析と呼ぶ．

最もわかりやす例として，気象モデルがあげられる．これは実空間上に点在する観測地点でのデータを空間的に内挿することで現在の気象状況を推定し，将来の状態を予測している．

確率場とは

d 次元のeuclid空間を $\bf{R}^d$ と表す．観測対象の領域を$D \sub \bf{R}^d$ とし，その領域におけるデータ全体を$\{Y(s) : s \in D\}$と表し，これを 確率場 と呼ぶ．因みに，$d=1$で時間の推移を表す場合，特に 確率過程と呼ぶ．

以上から，時空間データは確率場によって表現可能である．

時空間統計解析の基本的な考え方

定常性の仮定

確率場$\{Y(s) : s \in D\}$に対して，全ての地点$s$ を任意のベクトル$h$ だけ平行移動した地点を考え，$\{Y(s) : s \in D\}$と$\{Y(s+h) : (s+h) \in D\}$の同時確率分布が等しいとき，$\{Y(s) : s \in D\}$を（強）定常確率場と呼ぶ．

つまり，定常性とは， 相対的な位置関係を保った平行移動に対して，地点ごとのデータの相関が不変 だと解釈できる（解釈している）．

このため，定常性を仮定した確率場における観測データ間の差は白色雑音として，正規分布に従う確率変数として扱える．

固有定常性

定常性の仮定により様々な解析手法が利用可能になるが，一般的な空間データに対する確率場は非定常である．このため，非定常確率場$\{Y(s) : s \in D\}$の距離に基づく新たな確率場$\{Z_h(s) : s \in D\}$を考える．

$$Z_h(s) = Y(s+h) - Y(s)$$

この新たな確率場$\{Z_h(s)\}$が定常確率場となるならば，ある地点$s$における確率変数$Z_h(s)$の期待値と分散は，以下に相対ベクトル$h$のみに依存する関数として表現できる．

$$E[Z_h(s)] = m(h) \\ Var[Z_h(s)]=2\gamma(h)$$

この$\gamma(h)$を（半）バリオグラムと呼ばれ，距離に対する観測値の依存度（類似性）を表現している．

このバリオグラムから，距離に対する重み付き平均を計算することで，時空間内の未観測地点のデータを推定する手法を クリギング と呼ぶ．

その他の定常性仮定方法

以下のような手法が紹介されている．（勉強中）

• バリオグラムの推測
• 畳み込み法（カーネル法）

参考

矢島美寛・田中潮 （2019）時空間統計解析

https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10003173.html