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Fourier解析とラプラシアンの固有値分解

2025/03/29に公開
 導入今回は，Fourier級数とFourier変換が，大雑把に言うと，ラプラシアンの固有値展開（スペクトル分解）であることを，紹介する．ただし，数学的厳密性よりアイデアを優先しているため，厳密な定義が気になる方は別の本で学習されることをおすすめする．

 円周上のラプラシアンとFourier級数この節では円周上S^1 = [- \pi , \pi]のラプラシアン\triangle = - d^2/dx^2の固有値展開がFourier級数展開に対応することを説明する．円周上の関数u \colon S^1 \to \mathbb{C}がラプラシアン\triangleの固有値\lambdaを持つ固有ベクトルとすると，

    \triangle u = \lambda u
    \tag{1}
となる．移項すると，

    \left( \frac{d^2}{dx^2} + \lambda \right) u = 0 .
微分作用素を因数分解すると

    \left( \frac{d}{dx} - \sqrt{-\lambda} \right) \left( \frac{d}{dx} + \sqrt{-\lambda} \right) u = 0 .
    \tag{2}
ところで，Leibniz則から，

\begin{align}
    & \frac{d}{dx} \left( \exp \left( \int P(x) dx  \right) f \right) \notag \\
    & = P (x) \exp \left( \int P(x) dx  \right) f(x)
    + \exp \left( \int P(x) dx  \right) \frac{df}{dx}
    \notag 
\end{align}
なので，

\begin{align}
    \left( \frac{d}{dx} + P(x) \right) f 
    = \exp \left( - \int P(x) dx  \right) \frac{d}{dx} \left( \exp \left( \int P(x) dx  \right) f \right) 
    .
    \tag{3}
\end{align}
(3)
    \frac{d}{dx} \left( \exp ( - \sqrt{-\lambda} x) \exp ( - \sqrt{-\lambda} x) \frac{d}{dx} \left( \exp ( - \sqrt{-\lambda} x) u \right) \right) = 0 .
まとめると，

\begin{align}
    \frac{d}{dx} \left( \exp ( - 2\sqrt{-\lambda} x) \frac{d}{dx} \left( \exp ( \sqrt{-\lambda} x) u \right) \right) = 0 .
    \notag
\end{align}
微積分学の基本定理より，積分定数C_1を用いると，

\begin{align}
    \exp ( - 2\sqrt{-\lambda} x) \frac{d}{dx} \left( \exp ( \sqrt{-\lambda} x) u (x) \right) = C_1 .
    \notag
\end{align}
両辺\exp ( 2\sqrt{-\lambda} x)をかけると，

\begin{align}
    \frac{d}{dx} \left( \exp ( \sqrt{-\lambda} x) u (x) \right) = C_1 \exp ( 2\sqrt{-\lambda} x) .
    \notag
\end{align}
同様にして，微積分学の基本定理より積分定数C_2を用いると

\begin{align}
    \exp ( \sqrt{-\lambda} x) u (x) = \begin{cases}
        C_1 \exp ( 2\sqrt{-\lambda} x) + C_2, & \lambda \not = 0, \\
        C_1 x + C_2, & \lambda = 0 . 
    \end{cases}
    \notag
\end{align}
両辺\exp ( -\sqrt{-\lambda} x)をかけると，

\begin{align}
    u (x)= \begin{cases}
        C_1 \exp ( \sqrt{-\lambda} x) + C_2 \exp ( - \sqrt{-\lambda} x), & \lambda \not = 0, \\
        C_1 x + C_2, & \lambda = 0 . 
    \end{cases}
    \notag
\end{align}
関数uは周期2 \piの関数なので，固有値\lambdaは整数n \in \mathbb{Z}を用いて

    \sqrt{\lambda} = \pm n
と表されている必要がある．

つまり，

    \lambda =  n^2.
まとめると，ラプラシアン\Deltaの固有値は\lambda = -n^2であり，

固有ベクトルは

    \exp( \sqrt{-1}nx ),
    \quad 
    \exp( -\sqrt{-1}nx )
である．
\Deltaの固有値展開に言及しておく．

まず，

    \int_{-\pi}^{\pi}  \exp( \sqrt{-1}mx ) \exp( -\sqrt{-1}nx )
    dx = \begin{cases}
        2\pi, & m = n,\\
        0, & m \not = n,
    \end{cases}
    \tag{4}
である．つまり，\{\exp( \sqrt{-1}nx ) \}_nは内積

    \int_{-\pi}^{\pi} u(x) \overline{v(x)} dx
に関して，正規直交基底のようになっている．関数u(x)が
  
    u(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n \exp( \sqrt{-1}nx )
と書けるとしたとき，両辺に\int_{- \pi}^{\pi} \bullet \exp(- \sqrt{-1}ny ) dyを作用させると(4)より

\begin{align}
    \int_{- \pi}^{\pi} u (y) \exp(- \sqrt{-1}ny ) dy
    & =  
    \int_{- \pi}^{\pi} \left( \sum_{m=-\infty}^{\infty} a_m \exp( \sqrt{-1}my ) \right) \exp(- \sqrt{-1}ny ) dy \notag \\
    & = 2 \pi a_n \notag
\end{align}
となる．よって

    a_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} u (y) \exp( -\sqrt{-1}ny ) dy
である．
まとめると，ラプラシアン\triangleに関する固有値展開は

    u(x)
    =
    \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(
        \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} u (y) \exp( -\sqrt{-1}ny ) dy
    \right) \exp( \sqrt{-1}nx ) 
である．

 実軸上のラプラシアンとFourier変換この節では実軸\mathbb{R}上ののラプラシアン\triangle = - d^2/dx^2の固有値展開がFourier変換をつかった公式に対応することを説明する．Fourier級数展開同様の議論をするには少し工夫が必要である．ところで，実軸\mathbb{R}は区間[－L, L]のL\to \inftyとみなすことができる．直感的な考察として[-L , L]上のFourier級数展開を考えてみる．円周上S^1のFourier級数展開と同様にして，

    u(x)
    =
    \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(
        \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} u (y) \exp( -\sqrt{-1}n \frac{\pi}{L} y ) dy
    \right) \exp( \sqrt{-1}n \frac{\pi}{L} x ) 
である．\Delta \xi = \pi / Lとすると，

    u(x)
    =
    \frac{1}{2\pi}
    \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(
        \int_{-L}^{L} u (y) \exp( -\sqrt{-1}n \Delta \xi y ) dy
    \right) \exp( \sqrt{-1}n \Delta \xi x ) \Delta \xi
となる．L \to \inftyとすると，積分のことを思い出すと

    u(x)
    =
    \frac{1}{2\pi}
    \int_{-\infty}^{\infty} \left(
        \int_{-\infty}^{\infty} u (y) \exp( -\sqrt{-1}\xi y ) dy
    \right) \exp( \sqrt{-1} \xi x ) d \xi
    \tag{5}
となる．
そこで，Fourier変換\mathfrak{F}(u), Fourier逆変換\mathfrak{F}^{-1}(u)を

\begin{align*}
    \mathfrak{F}(u) (\xi ) & := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u (y) \exp( -\sqrt{-1}\xi y ) dy, \notag
    \\
    \mathfrak{F}^{-1} (u) (x) & := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u (\xi) \exp( \sqrt{-1}\xi x ) d \xi . \notag
\end{align*}
このとき，Fourier変換とFourier逆変換の合成は(5)より
 
    u = \mathfrak{F}^{-1} (\mathfrak{F} (u))
となる．
また，(5)に両辺，ラプラシアン\triangleを作用させると

\begin{align*}
    \triangle u(x)
    & =
    \frac{1}{2\pi}
    \int_{-\infty}^{\infty} \left(
        \int_{-\infty}^{\infty} u (y) \exp( -\sqrt{-1}\xi y ) dy
    \right) \triangle \exp( \sqrt{-1} \xi x ) d \xi
    \notag \\
    & =
    \frac{1}{2\pi}
    \int_{-\infty}^{\infty} \left(
        \int_{-\infty}^{\infty} u (y) \exp( -\sqrt{-1}\xi y ) dy
    \right) \left( - \frac{d^2}{ d x^2}\exp( \sqrt{-1} \xi x ) \right) d \xi
    \notag \\
    & =
    \frac{1}{2\pi}
    \int_{-\infty}^{\infty} \left(
        \int_{-\infty}^{\infty} u (y) \exp( -\sqrt{-1}\xi y ) dy
    \right) \xi^2 \exp( \sqrt{-1} \xi x )  d \xi 
    \notag \\
    & =
    \frac{1}{2\pi}
    \int_{-\infty}^{\infty} \xi^2\left(
        \int_{-\infty}^{\infty} u (y) \exp( -\sqrt{-1}\xi y ) dy
    \right) \exp( \sqrt{-1} \xi x ) d \xi
    ．
\end{align*}
これは，大雑把に言うと，ラプラシアン\triangleの固有値は\xi^2で，固有ベクトルは\exp( \sqrt{-1} \xi x )であることを意味する．

 まとめ

Fourier級数
固有値展開
Fourier変換


円周S^1

定義域
実軸\mathbb{R}


n^2, \, n \in \mathbb{Z}
ラプラシアン固有値
\xi^2, \, \xi \in \mathbb{R}

$\exp( \sqrt{-1}nx ) $
固有ベクトル
$\exp( \sqrt{-1}\xi x ) $
Fourier級数	固有値展開	Fourier変換
円周 $S^1$	定義域	実軸 $\mathbb{R}$
$n^2, \, n \in \mathbb{Z}$	ラプラシアン固有値	$\xi^2, \, \xi \in \mathbb{R}$
$\exp( \sqrt{-1}nx ) $	固有ベクトル	$\exp( \sqrt{-1}\xi x ) $
導入

円周上のラプラシアンとFourier級数

実軸上のラプラシアンとFourier変換

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Discussion
